Подготовка к олимпиаде. Раскраска
Доказать, что клетчатую доску 10
х
10 нельзя разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1
х
4. (Решения по Д.Ю. Кузнецову.)
Решение 1 . Разделим доску на квадраты 2х2 и раскрасим их в шахматном порядке (рис.1). Заметим, что любой прямоугольник 1х4 содержит поровну (по 2) чёрных и белых клеток, но при данной раскраске на доске 52 чёрных клетки и 48 белых, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.
Решение 2 . Раскрасим доску диагональной раскраской в 4 цвета (рис.2). Заметим, что любой прямоугольник содержит по одной клетке каждого из четырёх цветов, но при данной раскраске на доске по 25 клеток 1-го и 3-го цветов, 26 клеток – 2-го и 24 клетки – 4-го, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.
1. Из шахматной доски вырезали нижнюю правую и левую угловые клетки. Можно ли полученную фигуру разрезать на доминошки 1х2? А если вырезать нижнюю правую и верхнюю левую?
2. Можно ли доску 6х6 разрезать на доминошки, так чтобы среди них было ровно 11 горизонтальных? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)
3. Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. Можно ли обойтись тремя цветами? (См. Занятие 6: Раскраска географической карты - 5-6 класс).
4. В квадрате 4x4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?
5. Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?
6. а) Можно ли разрезать шахматную доску на фигурки, состоящие из 4 клеток в форме буквы "Т"?
б) Можно ли разрезать на такие фигурки шахматную доску 10x10?
7. Можно ли разбить квадрат 8×8 с отрезанным уголком на прямоугольники 1×3?
8. Можно ли доску 10×10 разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы"Г"? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)
9. Доска 8×8 разрезана на доминошки размером 2×1. Может ли быть 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?
10. Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?
11. Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из равностороннего треугольника со стороной 5 (см. рис. предыдущей задачи).
12. Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов. В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?
На этом занятии мы поговорим о раскрасках и том, как они помогают решать задачи. Рассмотрим нестандартные задачи на разрезания и замощения и способы их решения.
Конспект занятия "Разрезания. Замощения. Раскраски."
Раскраски. Разрезания. Замощения.
Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале XX века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.
Чтобы доказать, что решение задачи на разрезание какой-нибудь фигуры на части возможно, достаточно предоставить какой-нибудь способ разрезания. Найти все решения, то есть все способы разрезания, немного труднее. А доказать, что разрезание невозможно, уже достаточно трудно. Сделать это в некоторых случаях нам помогает раскраска фигуры.
Задача 1: Взяли квадрат клетчатой бумаги размером 8×8, отрезали от него две клетки (левую нижнюю и правую верхнюю). Можно ли полученную фигуру полностью покрыть «доминошками» - прямоугольниками 1× 2?
Задача 2. Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?
Задача 3: Можно ли разрезать квадрат клетчатой бумаги размером
4× 4 на один пьедестал, один квадрат, один столбик и один зигзаг?
Задача 4: Можно ли выложить квадрат 8 × 8, используя 15 прямоугольников 1 × 4 и один уголок вида ?
Задача 5: Можно ли выложить прямоугольник 6 × 10 прямоугольниками 1 × 4?
Задача 6: Можно ли сложить квадрат 6 × 6 с помощью 11 прямоугольников 1 × 3 и одного уголка вида ?
Задача 7: На каждой клетке доски 5 × 5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.
Задача 8: Из доски 8 × 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники 3 × 1?
Задача 9: Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее?
Задача 10: Можно ли доску размером 10 × 10 покрыть фигурами вида ?
Задача 11: Дана доска 12 × 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 × 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и переставить одну из них симметрично относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 × 3 в правом нижнем углу?
Задача 12: В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.
Задача 13:
Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.
Задача 14: На какое наибольшее количество ромбов можно разрезать равносторонний треугольник, разбитый на 36 равносторонних треугольников?
Задача 15. В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1. Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.
Задача 16. В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу.
Дана шахматная доска размером 8×8, из которой были вырезаны два противоположных по диагонали угла, и 31 кость домино; каждая кость домино может закрыть два квадратика на поле. Можно ли вымостить костями всю доску? Дайте обоснование своему ответу.
Решение
С первого взгляда кажется, что это возможно. Доска 8×8, следовательно, есть 64 клетки, две мы исключаем, значит остается 62. Вроде бы 31 кость должна поместиться, правильно?
Когда мы попытаемся разложить домино в первом ряду, то в нашем распоряжении только 7 квадратов, одна кость переходит на второй ряд. Затем мы размещаем домино во втором ряду, и опять одна кость переходит на третий ряд.
В каждом ряду всегда будет оставаться одна кость, которую нужно перенести на следующий ряд, не имеет значения сколько вариантов раскладки мы опробуем, у нас никогда не получится разложить все кости.
Шахматная доска делится на 32 черные и 32 белые клетки. Удаляя противоположные углы (обратите внимание, что эти клетки окрашены в один и тот же цвет), мы оставляем 30 клеток одного и 32 клетки другого цвета. Предположим, что теперь у нас есть 30 черных и 32 белых квадрата.
Каждая кость, которую мы будем класть на доску, будет занимать одну черную и одну белую клетку. Поэтому 31 кость домино займет 31 белую и 31 черную клетки. Но на нашей доске всего 30 черных и 32 белых клетки. Поэтому разложить кости невозможно.
Разбор взят из перевода книги Г. Лакман Макдауэлл и предназначен исключительно для ознакомления.
Если он вам понравился, то рекомендуем купить книгу
