≡× МЕНЮ

• PОР
• Windows
• Антивирус
• Антивирусы
• Графика

Курсовая работа: Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Презентация на тему "формула бернулли" Презентация на тему схемы повторных испытаний бернулли

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Содержание ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле … Решение 5а); Решение 5б); Решение 5в); Решение 5г). Заметим, что… Во всей серии повторений важно знать … Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы … ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли). ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , p , q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn (k). Решение 6 а); Решение 6 б); Решение 6 в); Решение 6 г). Теорема Бернулли позволяет … ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений … Для учителя. Источники. 08.02.2014 2

3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. Часть 3. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок. Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; б) не будет поражена; в) будет поражена хотя бы раз; г) будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Решение примера 5а) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Решение примера 5б) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Решение примера 5в) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы раз; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Решение примера 5г) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Заметим Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Во всей серии повторений важно знать В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему. Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли) Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть P n (k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда P n (k)= С n k  p k  q n- k , где р - вероятность «успеха», a q=1 - р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании. Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

ПРИМЕР 6. Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Решение 6а) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Решение 6б) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Решение 6в) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Решение 6г) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит, p = q = 0,5; Р 7 (3) = С 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = С 7 3 ∙ 0,5 7 . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Теорема Бернулли позволяет … Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n , составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n , где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А). Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность | k/n - Р(А)| приближенного равенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологических опросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости. Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 23

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§54. Случайные события и их вероятности3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Слайд 2
Содержание
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле …Решение 5а);Решение 5б);Решение 5в);Решение 5г).Заметим, что…Во всей серии повторений важно знать …Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы…ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли).
ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, p, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).Решение 6а);Решение 6б);Решение 6в);Решение 6г). Теорема Бернулли позволяет…ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений…Для учителя.Источники.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 3
3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.
Часть 3.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 4
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок.Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:а) будет поражена трижды;б) не будет поражена;в) будет поражена хотя бы раз;г) будет поражена ровно один раз.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 5
Решение примера 5а)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды;
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 6
Решение примера 5б)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:б) не будет поражена;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 7
Решение примера 5в)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:в) будет поражена хотя бы раз;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 8
Решение примера 5г)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:г) будет поражена ровно один раз.Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 9
Заметим
Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 10
Во всей серии повторений важно знать
В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 11
Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы
Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли)
Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть Pn(k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда Pn(k)= Сnk pk qn-k, где р - вероятность «успеха», a q=1-р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании.Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 13
ПРИМЕР 6.
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 14
Решение 6а)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 15
Решение 6б)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 16
Решение 6в)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 17
Решение 6г)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит,p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 18
Теорема Бернулли позволяет…
Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n, составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n, где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А).Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность |k/n- Р(А)| приближенногоравенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологическихопросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости.Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 20
Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 21
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 22
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 23
Источники
Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014
*

Слайд 1

Теорема Бернулли
17.03.2017

Слайд 2

Производится серия n независимых испытаний. У каждого испытания 2 исхода: A - "успех" и - "неуспех". Вероятность "успеха" в каждом испытании одинакова и равна P(A) = p Соответственно, вероятность "неуспеха" также не меняется от опыта к опыту и равна.
Схема Бернулли
Какова вероятность того, что в серии из n опытов k раз наступит успех? Найти Pn(k) .

Слайд 3

Монета бросается n раз. Из колоды извлекается карта n раз, причём каждый раз карта возвращается, колода перемешивается. Исследуется n изделий некоторого производства, наугад выбранные, на качество. Стрелок стреляет по мишени n раз.
Примеры

Слайд 4

Объясните, почему следующие вопросы укладываются в схему Бернулли. Укажите, в чем состоит «успех» и чему равны n и k. а) Какова вероятность трехкратного выпадения «двойки» при десяти бросаниях игрального кубика? б) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «орел» появится 73 раза? в) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Какова вероятность того, что сумма очков ни разу не была равна десяти? г) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди вытащенных карт была дама пик?.

Слайд 5

Для числа сочетаний из n по k справедлива формула
Например:

Слайд 6

Теорема Бернулли
Вероятность Pn(k) наступления ровно k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле, где p – вероятность «успеха», q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном опыте.

Слайд 7

Монета бросается 6 раз. Какова вероятность выпадения герба 0, 1, …6 раз? Решение. Число опытов n=6. Событие А – «успех» – выпадение герба. По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
;
;
;
;
;
;

Слайд 8

Монета бросается 6 раз. Какова вероятность выпадения герба 0, 1, …6 раз? Решение. Число опытов n=6. Событие А – «успех» – выпадение герба.
;
;
;
;
;
;

Слайд 9

Монета бросается 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба? Решение. Число опытов n=10, m=2. Событие А – «успех» – выпадение герба. По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
;
;
;
;
;
;

Слайд 10

В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 11

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, нет девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение. Вероятность рождения девочки, мальчика По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 12

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет одна девочка. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение. Вероятность рождения девочки, мальчика По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 13

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет две девочки. Решение. Вероятность рождения девочки, мальчика По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 14

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки. Решение. Вероятность рождения девочки, мальчика По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 15

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трёх девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение. Вероятность рождения девочки, мальчика Требуемая вероятность равна
.

Слайд 16

Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали»,

«Элементы математической статистики» - Доверительный интервал. Наука. Классификация гипотез. Детали изготавливаются на разных станках. Правила проверки. Корреляционная зависимость. Зависимость. Совокупность значений критерия. Найти доверительный интервал. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Нормальное распределение.

«Вероятность и математическая статистика» - Точность полученных значений. Шифр для сейфа. Описательная статистика. Яблоко. Рассмотрим события. Правило умножения. Два стрелка. Сравнение учебных программ. Карамель. Примеры столбчатых диаграмм. Отметки по математике. Правило умножения для трех. Белые и красные розы. 9 разных книг. Зимние каникулы.

«Основы математической статистики» - Условная вероятность. Таблица стандартизованных значений. Свойства распределения Стьюдента. Доверительный интервал математического ожидания. Выборочное среднее. Распределение. Одно испытание можно рассматривать как серию из одного испытания. Квантиль – левее должно располагаться кол-во значений, соответствующее индексу квантили.

«Теория вероятности и статистика» - Границы интервала. Критические области. Теорема умножения вероятностей. Распределение нормальной случайной величины. Вывод формулы Бернулли. Законы распределения случайных величин. Формулировка ЗБЧ. Смысл и формулировка центральной предельной теоремы. Связь номинальных признаков. Стохастическая зависимость двух случайных величин.

«Статистическое исследование» - Актуальность. Статистические характеристики и исследования. План. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Виды статестического наблюдения. Нравится ли тебе заниматься изучением математики. Рассмотрим ряд чисел. Кто тебе помогает разобрать трудную тему по математике. Нужна ли математика в будущей вашей профессии.

«Основные статистические характеристики» - Основные статистические характеристики. Найдите среднее арифметическое. Петроний. Размах. Мода ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Размах ряда. Медиана ряда. Статистика. Медиана. Школьные тетради.

Всего в теме 17 презентаций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ»  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Повторение испытаний. Схема бернулли

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Москва 2006 введение

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601, 160301, 230102. Указания выделяют основные понятия темы, определяют последовательность изучения материала. Большое количество рассмотренных примеров помогает в практическом освоении темы. Методические указания служат методической основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Схема Бернулли - схема повторных независимых испытаний, при которой какое-то событие А может многократно повторяться с постоянной вероятностью Р (А )= р .

Примеры испытаний, проводимых по схеме Бернулли: многократное подбрасывание монеты или игральной кости, изготовление партии деталей, стрельба по мишени и т.п.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р , то вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях (безразлично в какой последовательности), можно определить по формуле Бернулли:

где q = 1 – p .

ПРИМЕР 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р= 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ. Вероятность нормального расхода элек­троэнергии на протяжении каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1р = 1  0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

ПРИМЕР 2. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна р= 0,3. Найти вероятность того, что поражена: а) одна мишень; б) все три мишени; в) ни одной мишени; г) хотя бы одна мишень; д) менее двух мишеней.

РЕШЕНИЕ. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле постоянна и равна р =0,75. Следовательно, вероятность промаха равна q = 1 р = 1  0,3= 0,7. Общее число проведенных опытов n =3.

а) Вероятность поражения одной мишени при трех выстрелах равна:

б) Вероятность поражения всех трех мишеней при трех выстрелах равна:

в) Вероятность трех промахов при трех выстрелах равна:

г) Вероятность поражения хотя бы одной мишени при трех выстрелах равна:

д) Вероятность поражения менее двух мишеней, то есть или одной мишени, или ни одной:

1. Локальная и интегральная теоремы муавра-лапласа

Если произведено большое число испытаний, то вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится технически сложным, так как формула требует действий над огромными числами. Поэтому существуют более простые приближенные формулы для вычисления вероятностей при больших n . Эти формулы называются асимптотическими и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремой Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. А А произойдет m раз в n n (n →∞ ), приближенно равна:

где функция
а аргумент

Чем больше n , тем точнее вычисление вероятностей. Поэтому теорему Муавра-Лапласа целесообразно применять при npq  20.

f ( x ) составлены специальные таблицы (см. приложение 1). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции f(x) :

Функция f(x) является четной f(  x)= f(x) .

При х  ∞ функция f(x)  0. Практически можно считать, что уже при х >4 функция f(x) ≈0.

ПРИМЕР 3. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна р= 0,2.

РЕШЕНИЕ. По условию n =400, m =80, p =0,2, q =0,8. Следовательно:

По таблице определим значение функции f (0)=0,3989.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет от m 1 до m 2 раз в n испытаниях при достаточно большом числе n (n →∞ ), приближенно равна:

где
 интеграл или функция Лапласа,

Для нахождения значений функции Ф( x ) составлены специальные таблицы (например, см. приложение 2). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции Лапласа Ф(x) :

Функция Ф(x) является нечетной Ф(  x)=  Ф(x) .

При х  ∞ функция Ф(x)  0,5. Практически можно считать, что уже при х >5 функция Ф(x) ≈0,5.

Ф (0)=0.

ПРИМЕР 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

РЕШЕНИЕ. По условию n =400, m 1 =70, m 2 =100, p =0,2, q =0,8. Следовательно:

По таблице, в которой приведены значения функции Лапласа, определяем:

Ф(x 1 ) = Ф(  1,25 )=  Ф( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = Ф( 2,5 )= 0,4938.

Проводится серия независимых испытаний, в
каждом из которых возможно 2 исхода,
которые условно назовем Успех и Неудача.
Например, студент сдает 4 экзамена, в каждом
из которых возможно 2 исхода Успех: студент
сдал экзамен и Неудача: не сдал.

Вероятность Успеха в каждом испытании равна
p. Вероятность Неудачи равна q=1-p.
Требуется найти вероятность того, что в серии
из n испытаний успех наступит m раз
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
В каждом случае Успех происходит m раз, а
Неудача (n-m) раз.
Число
всех
комбинаций
равно
числу
способов из n испытаний выбрать те m, в
которых был Успех, т.е. C m
n

Вероятность каждой такой комбинации по
теореме
об
умножении
вероятностей
составит Pmqn-m.
Так как эти комбинации несовместны, то
искомая вероятность события Bm будет
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Известно, если монета упадет орлом, студент
идет в кино, если монета упадет решкой

студентов. Какова вероятность, что
1) трое из них окажутся на лекции
2) на лекции окажется не меньше 3 студентов
2) хотя бы один из студентов попадет на лекцию?

1) В данной задаче проводится серия из n=5
независимых испытаний. Назовем Успехом
поход на лекцию (выпадение решки) и
Неудачей – поход в кино (выпадение герба).
p=q=1/2.
По формуле Бернулли находим вероятность того,
что при 5 бросаниях монеты трижды случится
успех:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросаниях
хотя бы один раз монета выпадет решкой,
перейдем к вероятности противоположного
события - монета все 5 раз выпадет гербом:
Р5 (0).
Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р5(0).
По формуле Бернулли:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тогда вероятность искомого события составит
P 1 0.03125 0,96875

Бернулли
студент идет
в кино, если монета упадет решкой – студент идет на
лекцию. Монету бросило 5 студентов. Каково наиболее
вероятное число студентов, идущих на лекцию?
Вероятность
выигрыша по 1 билету равна 0,2. Каково наиболее
вероятное число выигравших билетов?

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли

np q k np p

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Формула для наиболее вероятного числа успехов
np q k np p
Если np-q– целое число, то в этом интервале лежит 2
целых числа. Оба равновероятны.
Если np-q – нецелое число, то в этом интервале лежит 1
целое число

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,

– студент идет на лекцию. Монету бросило 5

студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
вероятность, Pn(k)
Вероятности числа студентов, посетивших
лекцию
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
число студентов, k
4
5

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.


билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 k 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k 2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
Вероятности числа выигрышных билетов
вероятность, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
число билетов, k
7
8
9
10

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли


Заключено 10 договоров

выплатить страховую сумму

одному из договоров

чем по трем договорам
г) найти наиболее вероятное число договоров, по
которым придется выплатить страховую сумму

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
а) Найти вероятность того, что по трем придется
выплатить страховую сумму
0,201327

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
б) Страховую сумму не придется выплачивать ни по
одному из договоров
0,107374

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
в) страховую сумму придется выплатить не более,
чем по трем договорам
0,753297

Если n велико, то использование формулы
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
затруднительно
Поэтому применяются приближенные формулы

Теорема: Если вероятность p наступления события А
в каждом испытании близка к нулю,
а число независимых испытаний n достаточно велико,
то вероятность Pn(m) того, что в n независимых испытаниях
событие А наступит m раз, приближенно равна:
Pn (m)
m
m!
e
где λ=np
Эта формула называется формулой Пуассона (закон редких событий)

Pn (m)
m
m!
e , np
Обычно приближенную формулу Пуассона применяют,
когда p<0,1, а npq<10.

Пример Пусть известно, что при изготовлении некоторого препарата
брак (количество упаковок, не соответствующих стандарту)
составляет 0,2%. Оценить приближенно вероятность того, что
серди 1000 наугад выбранных упаковок окажутся три упаковки,
не соответствующие стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e ,
np

Пример Пусть известно, что при изготовлении некоторого препарата
брак (количество упаковок, не соответствующих стандарту)
составляет 0,2%. Оценить приближенно вероятность того, что
серди 1000 наугад выбранных упаковок окажутся три упаковки,
не соответствующие стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e , np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6

связано не более 5 договоров.

Пример В среднем по 1 % договоров страховая компания
выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из
100 договоров с наступлением страхового случая будет
связано не более 5 договоров.